17329. Прямоугольный треугольник ABC
с катетами AC=3
и BC=1
вписан в прямоугольник AMNK
. Известно, что вершина C
лежит на стороне MN
, MC:CN=2:1
, а точка B
лежит на стороне NK
прямоугольника. Найдите площадь треугольника ABK
.
Ответ. \frac{63}{26}
.
Решение. Положим CN=x
и CM=2x
. Поскольку
\angle ACM=90^{\circ}-\angle BCN=\angle CBN,
прямоугольный треугольник AMC
подобен прямоугольному треугольнику BNC
с коэффициентом \frac{AC}{BC}=3
. Значит,
AM=3CN=3x,~BN=\frac{1}{3}CM=\frac{1}{3}\cdot CM=\frac{2}{3}x.
По теореме Пифагора
9=AC^{2}=CM^{2}+AM^{2}=4x^{2}+9x^{2}=13x^{2}~\Rightarrow~x=\frac{3}{\sqrt{13}},
поэтому
KN=AM=3x=\frac{9}{\sqrt{13}},~AK=MN=CN+CM=x+2x=3x=\frac{9}{\sqrt{13}}
BK=KN-BN=3x-\frac{2}{3}x=\frac{7}{3}x=\frac{7}{3}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{7}{\sqrt{13}}.
Следовательно,
S_{\triangle ABK}=\frac{1}{2}AK\cdot BK=\frac{1}{2}\cdot\frac{9}{\sqrt{13}}\cdot\frac{7}{\sqrt{13}}=\frac{63}{26}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1988, задача 3, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1988, с. 149, задача 3, вариант 2.1