17330. Прямоугольный треугольник ABC
с катетами AC=3
, BC=2
вписан в квадрат. Известно, что вершина A
совпадает с вершиной квадрата, а вершины B
и C
лежат на его сторонах, не содержащих точку A
. Найдите площадь квадрата.
Ответ. \frac{81}{10}
.
Решение. Пусть вершина C
прямого угла треугольника ABC
лежит на стороне PQ
квадрата ARPQ
, а вершина B
— на стороне QR
.
Пусть сторона квадрата равна a
, CQ=x
и BQ=y
. Поскольку
\angle BCQ=90^{\circ}-\angle ACP=\angle CAP,
прямоугольный треугольник BCQ
подобен прямоугольному треугольнику CAP
, поэтому
\frac{CQ}{BC}=\frac{AP}{AC},~\mbox{или}~\frac{x}{2}=\frac{a}{3}~\Rightarrow~x=\frac{2a}{3}~~\Rightarrow~CP=PQ-x=a-\frac{2}{3}a=\frac{a}{3},
\frac{BQ}{BC}=\frac{CP}{AC},~\mbox{или}~\frac{y}{2}=\frac{\frac{a}{3}}{3}~\Rightarrow~y=\frac{2a}{9}~\Rightarrow~BR=QR-BQ=a-y=a-\frac{2a}{9}=\frac{7a}{9}.
По теореме Пифагора
13=AC^{2}=AR^{2}+BR^{2}=a^{2}+\frac{49}{81}a^{2}=\frac{130a^{2}}{81},
откуда
S_{ARQP}=a^{2}=\frac{13}{\frac{130}{81}}=\frac{81}{10}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1988, задача 3, вариант 2.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1988, с. 150, задача 3, вариант 2.2