17331. В прямоугольном треугольнике ABC
катеты AC=2
и BC=3
. На прямую, проходящую через точку C
, опущены перпендикуляры AH
и BK
. Известно, что точка H
лежит между точками C
и K
, причём CK=3CH
. Найдите площадь трапеции AHBK
.
Ответ. \frac{14}{5}
.
Решение. Пусть CH=x
. Тогда CK=3x
. Поскольку \angle CAH=\angle BCK
как углы с соответственно перпендикулярными сторонами, прямоугольные треугольники AHC
и CKB
подобны. Значит,
\frac{CH}{AC}=\frac{KC}{CB}~\mbox{или}~\frac{x}{2}=\frac{BK}{3}~\Rightarrow~BK=\frac{3}{2}x,
\frac{AH}{AC}=\frac{CK}{CB}~\mbox{или}~\frac{AH}{2}=\frac{3x}{3}=x~\Rightarrow~AH=2x.
По теореме Пифагора
9=BC^{2}=BK^{2}+CK^{2}=~\mbox{или}~\frac{9}{4}x^{2}+9x^{2}~\Rightarrow~x^{2}=\frac{4}{5}.
Следовательно,
S_{\triangle AHBK}=\frac{BK+AH}{2}\cdot KH=\frac{BK+AH}{2}\cdot KH=\frac{\frac{3}{2}x+2x}{2}\cdot2x=\left(\frac{3}{4}+1\right)x^{2}=\frac{7}{4}\cdot\frac{4}{5}=\frac{14}{5}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1988, задача 3, вариант 2.3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1988, с. 150, задача 3, вариант 2.3