17333. В треугольнике ABC
медианы AM
, BN
и высота AH
равны соответственно 5, \frac{7}{2}
и 3. Точка M
лежит между B
и H
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. 2(\sqrt{10}-2)
.
Решение. Пусть D
— точка пересечения медиан данного треугольника ABC
, E
— проекция точки D
на прямую BC
. Тогда прямоугольный треугольник DEM
подобен прямоугольному треугольнику AHM
с коэффициентом \frac{DM}{AM}=\frac{1}{3}
. Значит,
EM=\frac{1}{3}HM=\frac{1}{3}\sqrt{AM^{2}-AH^{2}}=\frac{1}{3}\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\frac{4}{3},~DE=\frac{1}{3}AH=1,
BD=\frac{2}{3}BN=\frac{2}{3}\cdot\frac{7}{2}=\frac{7}{3},~BE=\sqrt{BD^{2}-DE^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}-1}=\frac{2}{3}\sqrt{10}.
Тогда
BC=2BM=2(BE-EM)=2\left(\frac{2}{3}\sqrt{10}-\frac{4}{3}\right)=\frac{4}{3}(\sqrt{10}-2).
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}(\sqrt{10}-2)\cdot3=2(\sqrt{10}-2).
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1989, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1989, с. 152, задача 3, вариант 2