17336. Прямая l_{1}
— общая внешняя касательная окружностей с центрами O_{1}
и O_{2}
, расстояние между точками касания равно 12. Прямая l_{2}
— общая внутренняя касательная, расстояние между точками касания равно 8. Найдите радиусы окружностей, если известно, что радиус одной из них в пять раз больше радиуса другой.
Ответ. Обозначим через r
радиус меньшей окружности. Пусть прямая l_{1}
касается большей и меньшей окружностей в точках A
и B
соответственно, а F
— проекция точки O_{1}
на прямую O_{2}A
. Тогда ABO_{1}F
— прямоугольник, поэтому
O_{1}F=AB=12,~O_{2}F=O_{2}A-FA=O_{2}A-O_{1}B=5r-r=4r.
Из прямоугольного треугольника O_{1}FO_{2}
получаем
O_{1}O_{2}^{2}=O_{1}F^{2}+O_{2}F^{2}=12^{2}+16r^{2}.
Пусть прямая l_{2}
касается большей и меньшей окружностей в точках C
и D
соответственно, а P
— проекция точки O_{2}
на прямую O_{1}D
. Тогда DCPO_{1}
— прямоугольник, поэтому
O_{1}P=CD=8,~O_{2}P=O_{2}C+CP=O_{2}C+O_{1}D=5r+r=6r.
Из прямоугольного треугольника O_{1}FO_{2}
получаем
O_{1}O_{2}^{2}=O_{1}P^{2}+O_{2}P^{2}=8^{2}+36r^{2}.
Из равенства
12^{2}+16r^{2}=8^{2}+36r^{2}
находим r=2
. Следовательно, радиусы окружностей равны 2 и 10.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1990, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1990, с. 154, задача 3, вариант 2