17339. Внутри квадрата ABCD
взята точка E
, причём угол BEC
прямой. Найдите площадь треугольника BCE
, если BC=\sqrt{10}
, а расстояние от центра квадрата до точки E
равно 1.
Ответ. 2.
Решение. Пусть O
— центр квадрата, M
— середина стороны BC
, N
— проекция точки E
на OM
, H
— проекция точки E
на BC
. Обозначим MN=x
, ON=y
.
Тогда ENMH
— прямоугольник, поэтому EH=NM=x
— высота треугольника BCE
. Медиана ME
прямоугольного треугольника BCE
равна половине гипотенузы BC
, поэтому ME=OM=\frac{\sqrt{10}}{2}
.
По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников ONE
и NME
, получаем
NE^{2}=OE^{2}-ON^{2}=1-y^{2}~\mbox{и}~NE^{2}=EM^{2}-NM^{2}=\frac{5}{2}-x^{2},
поэтому
\frac{5}{2}-x^{2}=1-y^{2},~\mbox{или}~x^{2}-y^{2}=\frac{3}{2}.
С другой стороны,
x+y=MN+ON=OM=\frac{\sqrt{10}}{2}.
Таким образом, получаем систему уравнений
\syst{x^{2}-y^{2}=\frac{3}{2}\\x+y=\frac{\sqrt{10}}{2},\\}
из которой находим, что EH=x=\frac{2}{5}\sqrt{10}
. Следовательно,
S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}BC\cdot EH=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{10}\cdot\frac{2}{5}\sqrt{10}=2.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1991, задача 2, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1991, с. 156, задача 2, вариант 1