1734. Хорда AB
параллельна касательной к окружности, проведённой в точке C
. Докажите, что треугольник ABC
равнобедренный.
Указание. Проведите диаметр в точку касания.
Решение. Пусть l
— касательная к окружности, проведённая через точку C
, H
— точка пересечения диаметра CC_{1}
с хордой AB
. Тогда CC_{1}\perp l
, а так как AB\parallel l
, то CC_{1}\perp AB
. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, значит, H
— середина AB
(см. задачу 1676). Медиана CH
треугольника ABC
является его высотой, следовательно, треугольник ABC
равнобедренный.
Примечание. 1. Следствие. Точка касания C
— середина одной из дуг AB
.
2. Верно также следующее утверждение. Касательная, проведённая в середине C
дуги AB
, параллельна хорде AB
.
Это следует из равнобедренности треугольника ABC
и теоремы об угле между касательной и хордой.