17340. На гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
построен равносторонний треугольник ABD
, причём вершины C
и D
оказались по разные стороны от прямой AB
. Найдите площадь треугольника ABC
, если известно, что AB=6
, а расстояние от центра треугольника ABD
до вершины C
равно \sqrt{21}
.
Ответ. \frac{9\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Пусть O
— центр треугольника ABD
, а M
— середина AB
. В треугольнике MOC
известны стороны
CM=3,~OM=AM\tg30^{\circ}=3\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3},~OC=\sqrt{21}.
Обозначим \angle BMC=\alpha
. Тогда \angle CMO=90^{\circ}+\alpha
. По теореме косинусов находим
\sin\alpha=-\cos(90^{\circ}+\alpha)=-\frac{OM^{2}+CM^{2}-OC^{2}}{2OM\cdot CM}=-\frac{3+9-21}{2\cdot\sqrt{3}\cdot3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle BMC}=2\cdot\frac{1}{2}MB\cdot MC\sin\alpha=9\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1991, задача 2, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1991, с. 156, задача 2, вариант 2