17344. В равнобедренном треугольнике ABC
с основанием AC
высота CH
равна 3\sqrt{14}
. Найдите стороны треугольника, если известно, что AB\gt AC
и что прямая, параллельная CH
и делящая площадь треугольника пополам, пересекает его по отрезку, равному 2\sqrt{21}
.
Ответ. 12, 12\sqrt{2}
, 12\sqrt{2}
.
Указание. Пусть AC=a
, AB=b
, S
— площадь треугольника ABC
, EF
— отрезок, о котором говорится в условии. Выразите площадь треугольника CBH
через S
и отношение \frac{a}{b}
, а затем, воспользовавшись подобием треугольников CBH
и BEF
, в силу которого \frac{S_{\triangle CBH}}{S_{\triangle BEF}}=\frac{CH^{2}}{EF^{2}}=\frac{3}{2}
, найдите \frac{a}{b}
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1992, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1992, с. 159, задача 3, вариант 2