17345. В равнобедренной трапеции ABCD
угол A
равен 60\circ
, диагональ AC
равна 2\sqrt{3}
. Найдите площадь трапеции, если известно, что прямая, параллельная AC
и делящая площадь трапеции пополам, пересекает трапецию по отрезку, равному 3.
Ответ. 3\sqrt{3}
.
Указание. Пусть BC=a
, AD=b
, S
— площадь трапеции, EF
— отрезок, о котором говорится в условии. Тогда S_{\triangle ACD}=\frac{bS}{a+b}
. С другой стороны, в силу подобия треугольников ACD
и DEF
верно равенство
S_{\triangle ACD}=S_{\triangle DEF}\cdot\frac{AC^{2}}{EF^{2}}=\frac{4}{3}S_{\triangle DEF}=\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{2}{3}S.
Приравняв найденные выражения для S_{\triangle ACD}
, получим уравнение относительно \frac{a}{b}
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1992, задача 3, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1992, с. 160, задача 3, вариант 3