17347. Через вершины A
и B
треугольника ABC
проведена окружность радиуса 4, пересекающая стороны AC
и BC
в точках D
и E
соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника CDE
, если BD=5
, CD=2
.
Ответ. \frac{8}{5}
.
Решение. Обозначим \angle CAB=\alpha
. Тогда по свойству вписанного четырёхугольника
\angle CED=180^{\circ}-\angle DEB=\angle BAD=\angle BAC=\alpha.
Пусть радиусы описанных окружностей четырёхугольника ABED
и треугольника CDE
равны R
и r
соответственно. По теореме синусов
\sin\alpha=\frac{BD}{2R}=\frac{5}{8}~\Rightarrow~r=\frac{CD}{2\sin\alpha}=\frac{2}{2\cdot\frac{5}{8}}=\frac{8}{5}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1993, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1993, с. 161, задача 3, вариант 1