1735. Равносильность двух определений касательной к окружности.
а) Прямая касается окружности в точке M
, т. е. имеет с прямой единственную общую точку M
. Докажите, что радиус окружности, проведённый в точку M
, перпендикулярен этой прямой.
б) Докажите, что прямая, проходящая через некоторую точку окружности и перпендикулярная радиусу, проведённому в эту точку, является касательной к окружности, т. е. имеет с окружностью единственную общую точку.
Указание. а) Предположите, что радиус OM
не перпендикулярен данной прямой, и опустите перпендикуляр из центра окружности на эту прямую.
б) Предположите, что данные прямая и окружность имеют хотя бы две общие точки и придите к противоречию.
Решение. а) Пусть M
— единственная общая точка прямой и окружности с центром O
. Предположим, что радиус OM
не перпендикулярен этой прямой. Опустим перпендикуляр OH
из центра окружности на прямую. На продолжении отрезка MH
за точку H
отложим отрезок HN
, равный MH
. Тогда треугольник OMN
— равнобедренный, так как его высота OH
является медианой. Следовательно, ON=OM
, т. е. точка N
также лежит на окружности и при этом отлична от M
, а это противоречит тому, что M
— единственная общая точка прямой и окружности.
б) Пусть точка M
лежит на окружности, а прямая AM
перпендикулярна радиусу OM
. Докажем, что M
— единственная общая точка прямой AM
и окружности.
Предположим, что есть ещё одна общая точка N
окружности и прямой. Тогда ON=OM
, значит, треугольник OMN
— равнобедренный. Поэтому его углы при основании равны, что невозможно, так как один из этих углов равен 90^{\circ}
. Следовательно, M
— единственная общая точка прямой AM
и окружности.
Примечание. В этой задаче доказывается равносильность двух определений касательной к окружности.