17350. Через вершины A
и B
треугольника ABC
проведена окружность радиуса 9, пересекающая луч AC
в точке E
, не лежащей на стороне AC
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BCE
, если AB=7
, BC=2
.
Ответ. \frac{18}{7}
.
Решение. Обозначим \angle BEA=\angle BEC=\theta
. Пусть радиусы описанных окружностей треугольников ABE
и CBE
равны R
и r
соответственно. По теореме синусов из треугольников CBE
и ABE
получаем
\sin\theta=\frac{BC}{2r}=\frac{2}{2r}=\frac{1}{r}~\mbox{и}~\sin\theta=\frac{AB}{2R}=\frac{7}{2\cdot9}=\frac{7}{18}.
Из равенства \frac{1}{r}=\frac{7}{18}
находим, что r=\frac{18}{7}
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1993, задача 3, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1993, с. 163, задача 3, вариант 4