17351. В параллелограмме ABCD
диагональ AC
образует со стороной AD
угол 30^{\circ}
. Точка K
— середина стороны CD
. Отрезки AK
и BD
пересекаются в точке E
. Найдите диагональ AC
, если расстояние от точки E
до прямой BC
равно 1.
Ответ. 3.
Решение. Продолжим отрезок AK
до пересечения с лучом BC
в некоторой точке M
. Треугольники AKD
и CMK
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит,
MC=AD=BC~BM=2AD.
Треугольники BME
и ADE
подобны по двум углам, причём коэффициент подобия равен 2. Следовательно, высота треугольника ADE
, проведённая из точки E
, в два раза короче высоты треугольника BME
, проведённой из той же точки. Сумма этих высот равна высоте CH
параллелограмма, опущенной на прямую AD
. Следовательно,
CH=\frac{3}{2}~\Rightarrow~AC=2CH=2\cdot\frac{3}{2}=3.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1994, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1994, с. 163, задача 3, вариант 1