17355. Через середину стороны ромба перпендикулярно этой стороне проводится прямая, которая пересекает противолежащую сторону и делит ромб на части, площади которых равны 12 и 27. Найдите сторону ромба.
Ответ. \frac{13}{2}
.
Решение. Пусть сторона ромба ABCD
равна 2x
, острый угол A
ромба равен \alpha
, N
— проекция середины M
стороны AD
на противоположную сторону BC
, P
— проекция вершины B
на сторону AD
. Тогда
AP=AB\cos\alpha=2x\cos\alpha,~BN=PM=AM-AP=x(1-2\cos\alpha),
CN=BC-BN=2x-(x-2x\cos\alpha)=x(1+2\cos\alpha),~BP=AB\sin\alpha=2x\sin\alpha.
Значит,
\frac{4}{9}=\frac{12}{27}=\frac{S_{ABNM}}{S_{CDMN}}=\frac{\frac{BN+AM}{2}\cdot BP}{\frac{CN+DM}{2}\cdot BP}=\frac{BN+AM}{CN+DM}=\frac{x(1-2\cos\alpha)+x}{x(1+2\cos\alpha)+x}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha},
откуда \cos\alpha=\frac{5}{13}
. Тогда \sin\alpha=\frac{12}{13}
.
Таким образом,
12=S_{ABNM}=\frac{BN+AM}{2}\cdot BP=\frac{2x(1-\cos\alpha)}{2}\cdot2x\sin\alpha=2x^{2}(1-\cos\alpha)\sin\alpha=
=2x^{2}\left(1-\frac{5}{13}\right)\cdot\frac{12}{13}=\frac{x^{2}\cdot16\cdot12}{13^{2}},
откуда x^{2}=\frac{13^{2}}{4^{2}}
. Следовательно,
AB=2x=2\cdot\frac{13}{4}=\frac{13}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1995, задача 4, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1995, с. 165, задача 4, вариант 1.1