17356. Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника перпендикулярно гипотенузе проводится прямая, которая делит треугольник на части, площади которых равны 25 и 39. Найдите гипотенузу.
Ответ. 20\sqrt{\frac{2}{3}}
.
Решение. Пусть ABC
— данный прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине C
, M
— середина гипотенузы AB
. Без ограничения общности считаем, что AC\gt AB
. Тогда серединный перпендикуляр к гипотенузе AB
пересекает катет AC
(а не его продолжение) в некоторой точке N
. Обозначим AM=MB=x
.
Прямоугольный треугольник AMN
подобен данному треугольнику ABC
с коэффициентом k
, равным квадратному корню из отношения их площадей, т. е.
k=\sqrt{\frac{25}{25+39}}=\sqrt{\frac{25}{64}}=\frac{5}{8}.
Тогда
AN=kAB=\frac{5}{8}\cdot2x=\frac{5}{4}x.
По теореме Пифагора
MN=\sqrt{AN^{2}-AM^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}x^{2}-x^{2}}=\frac{3}{4}x.
Значит,
25=S_{\triangle AMN}=\frac{1}{2}AM\cdot MN=\frac{1}{2}\cdot x\cdot\frac{3}{4}x=\frac{3}{8}x^{2},
откуда
x=\sqrt{\frac{25\cdot8}{3}}=10\sqrt{\frac{2}{3}}.
Следовательно,
AB=2x=20\sqrt{\frac{2}{3}}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1995, задача 4, вариант 1.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1995, с. 166, задача 4, вариант 1.2