17359. В остроугольном равнобедренном треугольнике ABC
с основанием AC
высоты AH
и BK
пересекаются в точке O
. Найдите площадь треугольника ABC
, если AO=3
, OH=1
.
Ответ. 6\sqrt{2}
.
Решение. Пусть K
— середина основания AC
. Обозначим AB=BC=a
, AK=CK=b
. Из подобия прямоугольных треугольников AKO
и AHC
получаем
\frac{AK}{KO}=\frac{AH}{AC},~\mbox{или}~\frac{b}{3}=\frac{4}{2b}~\Rightarrow~b^{2}=6.
Из подобия прямоугольных треугольников BKC
и AKO
получаем
\frac{BK}{KC}=\frac{AK}{AO},~\mbox{или}~\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}=\frac{b}{3}~\Rightarrow~9a^{2}-9b^{2}=a^{2}b^{2}~\Rightarrow~9a^{2}-54=6a^{2}~\Rightarrow~a^{2}=18.
Из прямоугольного треугольника BKC
находим, что
BK=\sqrt{BC^{2}-KC^{2}}=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{18-6}=2\sqrt{3}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=CK\cdot BK=\sqrt{6}\cdot2\sqrt{3}=6\sqrt{2}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1995, задача 4, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1995, с. 167, задача 4, вариант 2.1