17363. В треугольнике ABC
радиус вписанной окружности равен \sqrt{5}
, расстояние от её центра до вершины C
равно 5\sqrt{2}
. Найдите сумму сторон AC
и BC
, если известно, что площадь треугольника ABC
равна 30.
Ответ. 9\sqrt{5}
.
Решение. Пусть O
— центр вписанной окружности, r
— радиус окружности, p
— полупериметр треугольника ABC
, S
— площадь, M
, N
и K
— точки касания окружности со сторонами AB
, AC
и BC
соответственно. Тогда AM=AN
и BM=BK
, поэтому
AB=AM+BM=AN+BK=(AC-CN)+(BC-CK)=
=AC+BC-(CN+CK)=AC+BC-2\sqrt{OC^{2}-ON^{2}}=AC+BC-6\sqrt{5}.
В то же время,
S=pr,~\mbox{или}~30=\frac{1}{2}(AC+BC+AB)\cdot\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}}{2}(AC+BC+AC+BC-6\sqrt{5})=
=\frac{\sqrt{5}}{2}(2(AC+BC)-6\sqrt{5})=(AC+BC)\sqrt{5}-15,
откуда находим, что
AC+BC=\frac{45}{\sqrt{5}}=9\sqrt{5}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1996, задача 3, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1996, с. 169, задача 3, вариант 2.1