17371. Задан равнобедренный треугольник ABC
с основанием AC
. Окружность радиуса 2\sqrt{5}
касается прямой AC
в точке A
, боковой стороны BC
— в некоторой точке D
и пересекает боковую сторону AB
в точке M
. Найдите периметр треугольника ABC
, если AM:MB=5:4
.
Ответ. 14\sqrt{7}
.
Решение. Пусть O
— центр заданной окружности. Положим BM=4x
, AM=5x
, \angle ACB=\angle CAB=\alpha
. Тогда BC=AB=9x
.
По теореме о касательной и секущей
BD=\sqrt{BM\cdot BA}=\sqrt{4x\cdot9x}=6x~\Rightarrow~CA=CD=BC-BD=9x-6x=3x.
Из равнобедренного треугольника ABC
находим, что
\cos\alpha=\cos\angle ACB=\frac{\frac{1}{2}AC}{BC}=\frac{\frac{3}{2}x}{9x}=\frac{1}{6}.
Обозначим \tg\frac{\alpha}{2}=t
. Тогда
\cos\alpha=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},~\mbox{или}~\frac{1}{6}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}~\Rightarrow~\tg\frac{\alpha}{2}=t=\sqrt{\frac{5}{7}}.
Из прямоугольного треугольника AOC
находим, что
3x=AC=\frac{OA}{\tg\frac{\alpha}{2}}=2\sqrt{5}\cdot\sqrt{\frac{7}{5}}=2\sqrt{7},~x=\frac{2\sqrt{7}}{3}.
Следовательно, периметр данного треугольника равен
AB+BC+AC=21x=14\sqrt{7}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1998, задача 3, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1998, с. 178, задача 3, вариант 1.1