17375. Хорды AC
и BD
некоторой окружности перпендикулярны и пересекаются в точке K
. Известно, что AK=11
, BK=2
, CD=10\sqrt{5}
. Найдите периметр четырёхугольника ABCD
.
Ответ. 28\sqrt{5}
.
Решение. Обозначим KC=x
и KD=y
. Из подобия прямоугольных треугольников DKC
и AKB
получаем
\frac{KC}{KD}=\frac{KB}{KA},~\mbox{или}~\frac{x}{y}=\frac{2}{11}~\Rightarrow~y=\frac{11}{2}x.
По теореме Пифагора
KC^{2}+KD^{2}=CD^{2},~\mbox{или}~x^{2}+y^{2}=500.
Из системы
\syst{y=\frac{11}{2}x\\x^{2}+y^{2}=500\\x,y\gt0}
получаем x=4
и y=22
. Тогда из прямоугольных треугольников ABK
, BCK
и ADK
находим, что
AB=\sqrt{AK^{2}+BK^{2}}=5\sqrt{5},~BC=\sqrt{BK^{2}+CK^{2}}=2\sqrt{5},
AD=\sqrt{AK^{2}+KD^{2}}=11\sqrt{5}.
Следовательно, периметр четырёхугольника ABCD
равен
AB+BC+CD+AD=5\sqrt{5}+2\sqrt{5}+10\sqrt{5}+11\sqrt{5}=28\sqrt{5}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1998, задача 3, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1998, с. 180, задача 3, вариант 2.1