1738. С помощью циркуля и линейки проведите через данную точку касательную к данной окружности.
Указание. Если точка A
лежит вне окружности с центром O
, то отрезок OA
виден из искомой точки касания под прямым углом.
Решение. Пусть данная точка A
лежит на окружности с центром O
. Через точку A
проведём прямую, перпендикулярную прямой OA
. Проведённая прямая является касательной к данной окружности.
Пусть точка A
лежит вне окружности. Построим окружность на отрезке AO
как на диаметре. Пусть она пересекает данную окружность в точках B
и C
. Докажем, что прямые AB
и AC
— искомые касательные.
В самом деле, поскольку точка B
лежит на окружности с диаметром AO
, то \angle ABO=90^{\circ}
. Значит, прямая AB
проходит через точку B
, лежащую на окружности с центром O
, и перпендикулярна радиусу OB
этой окружности, проведённому в точку B
. Следовательно, прямая AB
— касательная к окружности с центром O
. Аналогично для прямой AC
.
Если точка A
лежит внутри окружности, задача не имеет решения.
