17383. В прямоугольник площади 34 вписан ромб с диагоналями 2\sqrt{5}
и 4\sqrt{5}
таким образом, что на каждой стороне прямоугольника лежит по одной вершине ромба. Найдите стороны прямоугольника.
Ответ. \sqrt{17}
и 2\sqrt{17}
.
Решение. Пусть диагонали AC
и BD
ромба ABCD
, вписанного в прямоугольник, равны соответственно 4\sqrt{5}
и 2\sqrt{5}
. Опустим из вершин A
и B
перпендикуляры AE
и BF
на стороны прямоугольника (см. рис.).
Стороны AC
и AE
угла CAE
соответственно перпендикулярны сторонам BD
и BF
угла DBF
(так как диагонали ромба перпендикулярны), поэтому прямоугольные треугольники ACE
и BDF
подобны. Их катеты AE
и BF
соответственно равны сторонам данного прямоугольного.
Обозначим AE=x
и BF=y
. Тогда
\frac{AE}{BF}=\frac{x}{y}=\frac{AC}{BD}=\frac{4\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=2~\Rightarrow~x=2y,
а так как xy=34
, то 2y^{2}=34
. Следовательно, y=\sqrt{17}
и x=2\sqrt{17}
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1999, задача 3, вариант 1.4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1999, с. 185, задача 3, вариант 1.4