17391. Сторона правильного шестиугольника ABCDEF
равна 1. Точки M
и N
— середины сторон AB
и CD
соответственно, отрезки AN
и EM
пересекаются в точке P
. Найдите NP
.
Ответ. \frac{9\sqrt{13}}{26}
.
Решение. Пусть K
и L
— точки пересечения прямой EM
с прямыми FA
и CD
соответственно, Q
— точка пересечения прямых FE
и CD
. Из прямоугольного треугольника ANC
находим, что
AN=\sqrt{AC^{2}+NC^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{13}}{2}.
Треугольник QED
равносторонний, поэтому QS=DE=QD=1
.
Из равенства треугольников AMK
и BME
получаем, что AK=BE=2
, а из равенства треугольников FEK
и QEL
—
LQ=FK=FA+AK=1+2=3.
Значит,
LN=LQ+QD+DN=3+1+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}.
Треугольник LPN
подобен треугольнику KPA
с коэффициентом
\frac{LN}{AK}=\frac{\frac{9}{2}}{2}=\frac{9}{4}.
Следовательно,
NP=\frac{9}{9+4}AN=\frac{9}{13}AN=\frac{9}{13}\cdot\frac{\sqrt{13}}{2}=\frac{9\sqrt{13}}{26}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2000, задача 3, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2000, с. 189, задача 3, вариант 2.1