17392. Сторона правильного шестиугольника ABCDEF
равна 1. Точки M
и N
— середины сторон BC
и CD
соответственно, отрезки AN
и FM
пересекаются в точке P
. Найдите NP
.
Ответ. \frac{7\sqrt{13}}{26}
.
Решение. Пусть K
— точка пересечения прямых BC
и FA
, а Q
— точка пересечения прямых FM
и CD
. Из прямоугольного треугольника ANC
находим, что
AN=\sqrt{AC^{2}+NC^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{13}}{2}.
Треугольник ABK
равносторонний, поэтому AK=BK=AB=1
. Треугольник CMQ
подобен треугольнику KMF
с коэффициентом
\frac{CM}{MK}=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3},
поэтому
CQ=\frac{1}{3}KF=\frac{1}{3}(AF+AK)=\frac{1}{3}(1+1)=\frac{2}{3}.
Треугольник NPQ
подобен треугольнику APF
с коэффициентом
\frac{NQ}{AF}=\frac{NC+CQ}{AF}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}{1}=\frac{7}{6}.
Следовательно,
PN=AN\cdot\frac{NQ}{NQ+AF}=AN\cdot\frac{7}{7+6}=\frac{7}{13}AN=\frac{7}{13}\cdot\frac{\sqrt{13}}{2}=\frac{7\sqrt{13}}{26}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2000, задача 3, вариант 2.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2000, с. 190, задача 3, вариант 2.2