17395. В треугольнике ABC
проведена медиана AD=6
, причём \angle BAC=120^{\circ}
, \angle BAD=75^{\circ}
. Найдите AC
.
Ответ. 2\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)
.
Решение. На продолжении медианы AD
отложим отрезок DE=AD=6
. Тогда ABEC
— параллелограмм. В треугольнике ACE
известно, что
AE=2AD=12,~\angle ACE=180^{\circ}-\angle BAC=60^{\circ},~\angle CEA=\angle BAE=75^{\circ}.
Из треугольника ACE
по теореме синусов получаем
\frac{AC}{\sin75^{\circ}}=\frac{AE}{\sin60^{\circ}}~\Rightarrow~AC=AE\cdot\frac{\sin75^{\circ}}{\sin60^{\circ}}=12\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}\sin75^{\circ}=
=8\sqrt{3}\sin(45^{\circ}+30^{\circ})=8\sqrt{3}(\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}+\cos45^{\circ}\sin30^{\circ})=
=8\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)=2\sqrt{6}(\sqrt{3}+1).
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2001, задача 3, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2001, с. 191, задача 3, вариант 1.1