17400. В треугольнике ABC
проведена высота BH
, основание которой лежит на стороне AC
. Известно, что AB=8
, BC=4
и AH=5HC
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC
.
Ответ. \frac{8\sqrt{14}}{7}
.
Решение. Положим HC=x
, AH=5x
, \angle ACB=\angle HCB=\gamma
. По теореме Пифагора
BC^{2}-CH^{2}=AB^{2}-AH^{2},~\mbox{или}~16-x^{2}=64^{2}-25x^{2}~\Rightarrow~x=\sqrt{2}.
Значит,
AC=6x=6\sqrt{2},~BH=\sqrt{BC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{16-2}=\sqrt{14},
\sin\gamma=\frac{BH}{BC}=\frac{\sqrt{14}}{4}.
Пусть R
— искомый радиус описанной окружности треугольника ABC
. Тогда по теореме синусов
R=\frac{AB}{2\sin\gamma}=\frac{8}{2\cdot\frac{\sqrt{14}}{4}}=\frac{8\sqrt{14}}{7}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2001, задача 3, вариант 2.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2001, с. 194, задача 3, вариант 2.2