17401. В треугольнике ABC
проведена высота BH
, основание которой лежит на продолжении стороны AC
. Известно, что AH=5
, CH=1
и AB=3BC
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC
.
Ответ. \frac{9\sqrt{2}}{4}
.
Решение. Положим BC=x
, AB=3x
, \angle BAC=\angle BAH=\alpha
. По теореме Пифагора
BC^{2}-CH^{2}=AB^{2}-AH^{2},~\mbox{или}~x^{2}-1=9x^{2}-25~\Rightarrow~x=\sqrt{3}.
Значит,
AB=3x=3\sqrt{3},~BH=\sqrt{BC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2},
\sin\alpha=\frac{BH}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}.
Пусть R
— искомый радиус описанной окружности треугольника ABC
. Тогда по теореме синусов
R=\frac{BC}{2\sin\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}}=\frac{9\sqrt{2}}{4}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2001, задача 3, вариант 2.3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2001, с. 195, задача 3, вариант 2.3