17407. Две окружности радиусов 3 и 1 касаются друг друга внешним образом. Через центры окружностей проведены параллельные диаметры AB
и CD
, причём отрезки BC
и AD
не пересекаются. Найдите BC
и AD
, если известно, что BC:AD=3:4
.
Ответ. \frac{6\sqrt{10}}{5},~\frac{8\sqrt{10}}{5}
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей радиусов 1 и 3 соответственно (см. рис.). Поскольку окружности касаются внешним образом, O_{1}O_{2}=1+3=4
.
Положим BC=3x
и AD=4x
. Через точку O_{1}
проведём прямые, параллельные боковым сторонам BC
и AD
трапеции ABCD
. Пусть они пересекают большее основание CD
в точках M
и N
соответственно. Тогда
O_{2}M=O_{2}C-MC=O_{2}C-O_{1}B=3-1=2,
O_{2}N=O_{2}D-ND=O_{2}D-O_{1}A=3-1=2,
поэтому O_{1}O_{2}=4
— медиана треугольника MO_{1}N
.
По формуле для медианы треугольника со сторонами O_{1}M=BC=3x
, O_{1}N=AD=4x
, MN=4
и медианой O_{1}O_{2}=4
получаем
4O_{1}O_{2}^{2}=2O_{1}M^{2}+2O_{1}N^{2}-MN^{2},~\mbox{или}~4\cdot16=2\cdot9x^{2}+2\cdot16x^{2}-16^{2},
Откуда находим, что x=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}
. Следовательно,
BC=3x=\frac{6\sqrt{10}}{5},~AD=4x=\frac{8\sqrt{10}}{5}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2002, задача 3, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2002, с. 199, задача 3, вариант 2.1