17408. Две окружности касаются друг друга внешним образом. Через центры окружностей проведены параллельные диаметры AB
и CD
, причём отрезки BC
и AD
не пересекаются. Известно, что радиус одной окружности в два раза больше радиуса другой, BC=6
, AD=8
. Найдите радиусы окружностей.
Ответ. \sqrt{5}
, 2\sqrt{5}
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей радиусов r
и 2r
соответственно (см. рис.). Поскольку окружности касаются внешним образом, O_{1}O_{2}=r+2r=3r
.
Через точку O_{1}
проведём прямые, параллельные боковым сторонам BC
и AD
трапеции ABCD
. Пусть они пересекают большее основание CD
в точках M
и N
соответственно. Тогда
O_{2}M=O_{2}C-MC=O_{2}C-O_{1}B=2r-r=r,
O_{2}N=O_{2}D-ND=O_{2}D-O_{1}A=2r-r=r,
поэтому O_{1}O_{2}=3r
— медиана треугольника MO_{1}N
.
По формуле для медианы треугольника со сторонами O_{1}M=BC=6
, O_{1}N=AD=8
, MN=2r
и медианой O_{1}O_{2}=3r
получаем
4O_{1}O_{2}^{2}=2O_{1}M^{2}+2O_{1}N^{2}-MN^{2},~\mbox{или}~4\cdot9r^{2}=2\cdot36+2\cdot64-4r^{2},
Откуда находим, что r=\sqrt{5}
. Следовательно,
O_{1}A=O_{1}B=r=\sqrt{5},~O_{2}D=O_{2}C=2r=2\sqrt{5}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2002, задача 3, вариант 2.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2002, с. 200, задача 3, вариант 2.2