1741. Две прямые, проходящие через точку M
, лежащую вне окружности с центром O
, касаются окружности в точках A
и B
. Отрезок OM
делится окружностью пополам. В каком отношении отрезок OM
делится прямой AB
?
Ответ. 1:3
, считая от точки O
.
Указание. В прямоугольном треугольнике AMO
катет OA
равен половине гипотенузы OM
. Если K
— середина OM
, то треугольник AOK
— равносторонний.
Решение. Биссектриса равнобедренного треугольника AMB
, проведённая из вершины M
, является высотой. Поэтому AB\perp MO
. Пусть окружность пересекает отрезок OM
в точке K
. В прямоугольном треугольнике AMO
катет OA
равен половине гипотенузы MO
, значит \angle AMO=30^{\circ}
, а \angle AOM=60^{\circ}
. Поскольку угол между равными сторонами OA
и OK
равнобедренного треугольника AOK
равен 60^{\circ}
, то треугольник — равносторонний. Его высота AP
является медианой, поэтому
OP=KP=\frac{1}{2}OK=\frac{1}{4}OM.
Следовательно, OP:MP=1:3
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 8.4, с. 60