17411. В равнобедренном треугольнике ABC
с равными сторонами AB
и BC
точка D
на стороне BC
выбрана так, что AD=AC
. Известно, что угол BAD
в три раза больше угла CAD
. Найдите угол BAC
.
Ответ. 80^{\circ}
Решение. Обозначим \angle ABC=\alpha
. Равнобедренные треугольники ABC
и CAD
имеют общий угол C
при основаниях AC
и CD
соответственно. Значит, угол при вершине A
треугольника CAD
равен \alpha
. Тогда
\angle DAB=3\alpha,~\angle BAC=\angle BCA=4\alpha.
Сумма всех углов треугольника равна 180^{\circ}
, т. е.
4\alpha+4\alpha+\alpha=9\alpha=180^{\circ}~\Rightarrow~\alpha=20^{\circ}.
Следовательно, \angle BAC=4\alpha=80^{\circ}
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2002, задача 3П, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2002, с. 201, задача 3П, вариант 2.1