17412. В равнобедренном треугольнике ABC
с равными сторонами AB
и BC
точка D
на стороне BC
выбрана так, что AD=AC
. Известно, что угол ADB
в три раза больше угла BAD
. Найдите угол CAD
.
Ответ. 36^{\circ}
Решение. Положим \angle BAD=\alpha
и \angle ADB=3\alpha
. Тогда
\angle ACB=\angle ADC=180^{\circ}-3\alpha.
Равнобедренные треугольники ABC
и CAD
имеют общий угол C
при основаниях AC
и CD
соответственно. Значит, угол при вершине A
равнобедренного треугольника CAD
равен углу при вершине B
равнобедренного треугольника ABC
, т. е.
\angle CAD=\angle ABC=180^{\circ}-4\alpha.
Значит, по теореме о внешнем угле треугольника
\angle ADB=\angle DCA+\angle CAD,~\mbox{или}~3\alpha=(180^{\circ}-3\alpha)+(180^{\circ}-4\alpha)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~10\alpha=360^{\circ}~\Leftrightarrow~\alpha=36^{\circ}.
откуда находим, что \alpha=36^{\circ}
. Следовательно,
\angle CAD=180^{\circ}-4\alpha=180^{\circ}-144^{\circ}=36^{\circ}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2002, задача 3П, вариант 2.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2002, с. 200, задача 3П, вариант 2.2