17413. В равнобедренном треугольнике ABC
с равными сторонами AB
и BC
точка D
на стороне BC
выбрана так, что AD=AC
. Известно, что угол BAD
в шесть раз больше угла ABC
. Найдите угол ADB
.
Ответ. 96^{\circ}
Решение. Обозначим \angle ABC=\alpha
. Равнобедренные треугольники ABC
и CAD
имеют общий угол C
при основаниях AC
и CD
соответственно. Значит, угол при вершине A
треугольника CAD
равен \alpha
. Тогда \angle DAB=6\alpha
. Значит,
\angle BCA=\angle BAC=6\alpha+\alpha=7\alpha.
Сумма всех углов треугольника равна 180^{\circ}
, т. е.
7\alpha+7\alpha+\alpha=15\alpha=180^{\circ}~\Rightarrow~\alpha=12^{\circ}.
Следовательно,
\angle ADB=\angle BCA+\angle CAD=7\alpha+\alpha=8\alpha=8\cdot12^{\circ}=96^{\circ}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2002, задача 3П, вариант 2.3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2002, с. 200, задача 3П, вариант 2.3