17415. Хорда AD
окружности пересекает два взаимно перпендикулярных радиуса этой окружности в точках B
и C
, причём точка B
лежит между точками A
и C
. Известно, что радиус окружности равен 3\sqrt{13}
и AB:BC:CD=3:4:5
. Найдите хорду AD
.
Ответ. 12\sqrt{3}
.
Решение. Пусть O
и R
— центр и радиус окружности; ML
и NK
— диаметры, на которых расположены точки B
и C
соответственно. По теореме Пифагора BC^{2}=OC^{2}+OB^{2}
, а по теореме о произведении пересекающихся хорд AB\cdot BD=MB\cdot BL
и CD\cdot AC=NC\cdot CK
.
Положим OC=x
, OB=y
, AB=3z
, BC=4z
и CD=5z
, получим систему
\syst{16z^{2}=x^{2}+y^{2}\\3z\cdot9z=(R-y)(R+y)\\5z\cdot7z=(R-x)(R+x).\\}
Сложив три уравнения системы получим
78z^{2}=2R^{2}=234~\Rightarrow~z=\sqrt{3}.
Следовательно,
AB+BC+CD=3z+4z+5z=12z=12\sqrt{3}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2003, задача 3, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2003, с. 202, задача 3, вариант 1.1