17419. Окружность с центром на гипотенузе AC
прямоугольного треугольника ABC
касается катетов AB
и BC
в точках M
и N
соответственно. Найдите периметр треугольника ABC
, если AM=4
, CN=9
.
Ответ. 5(5+\sqrt{13})
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, r
— радиус. Прямоугольные треугольники AMO
и ONC
подобны, поэтому
\frac{AM}{MO}=\frac{ON}{NC},~\mbox{или}~\frac{4}{r}=\frac{r}{9}~\Rightarrow~r=6.
Значит,
AB=AM+MB=4+6=10,~BC=BN+NC=6+9=15.
По теореме Пифагора
AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{100+225}=5\sqrt{13}.
Следовательно,
AB+BC+AC=10+15+5\sqrt{13}=25+5\sqrt{13}=5(5+\sqrt{13}).
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2003, задача 3, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2003, с. 204, задача 3, вариант 2.1