17427. В остроугольном треугольнике ABC
высоты AK
и CL
пересекаются в точке H
. Известно, что AH=16
, HK=3
и CH:HL=3:1
. Найдите BK
Ответ. \frac{19}{\sqrt{15}}
.
Решение. Пусть HL=x
, CH=3x
. Прямоугольные треугольники AHL
и CHK
подобны, поскольку их острые углы при общей вершине H
равны как вертикальные. Значит,
\frac{AH}{CH}=\frac{LH}{HK},~\mbox{или}~\Rightarrow~AH\cdot HK=LH\cdot HC~\Rightarrow~16\cdot3=x\cdot3x~\Rightarrow~3x^{2}=48~\Rightarrow
\Rightarrow~LH=x=4,~CH=3x=12.
По теореме Пифагора находим
AL=\sqrt{AH^{2}-LH^{2}}=\sqrt{16^{2}-4^{2}}=4\sqrt{15}.
Из подобия прямоугольных треугольников AHL
и ABK
с общим острым углом при вершине A
получаем
\frac{BK}{AK}=\frac{LH}{AL},~\mbox{или}~BK=\frac{AK\cdot LH}{AL}=\frac{(AH+HK)\cdot LH}{AL}=\frac{(16+3)\cdot4}{4\sqrt{15}}=\frac{19}{\sqrt{15}}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2004, задача 3, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2004, с. 209, задача 3, вариант 2.1