17436. Две окружности радиусов 3 и 4, расстояние между центрами которых равно 5, пересекаются в точках A
и B
. Через точку B
проведена прямая, которая параллельна общей касательной двух данных окружностей и пересекает их в точках C
и D
, отличных от B
. Найдите площадь треугольника ACD
.
Ответ. \frac{576}{25}
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры данных окружностей радиусов 3 и 4 соответственно, O_{1}M
и O_{2}N
— радиусы первой и второй окружностей, проведённые в точки касания окружностей с их общей касательной, F
— проекция точки O_{1}
на прямую O_{2}N
.
Треугольник BO_{12}O_{2}
прямоугольный, так как
BO_{1}^{2}+BO^{2}=9+16=25=O_{1}O_{2}^{2}.
Четырёхугольник O_{1}MNF
— прямоугольник, поэтому
CD=2MN=2O_{1}F=2\sqrt{OO_{1}^{2}-O_{2}F^{2}}=2\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-(O_{2}N-FN^{2})^{2}}=
=2\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-(O_{2}N-O_{1}M^{2})^{2}}=2\sqrt{5^{2}-1^{2}}=2\sqrt{6}.
Обозначим \angle BO_{1}O_{2}=\alpha
и \angle BO_{2}O_{1}=\beta
. Тогда
\angle ACD=\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AO_{1}B=\frac{1}{2}\cdot2\alpha=\alpha=\angle BOP_{1}O_{2}.
Аналогично, \angle ADC=\beta
. Значит, треугольник ACD
подобен прямоугольному треугольнику BO_{1}O_{2}
, причём коэффициент подобия k
равен отношению гипотенуз, т. е.
k=\frac{CD}{O_{1}O_{2}}=\frac{2O_{1}F}{O_{1}O_{2}}=\frac{2\cdot2\sqrt{6}}{5}=\frac{4\sqrt{6}}{5}.
Следовательно,
S_{\triangle ACD}=k^{2}S_{\triangle BO_{1}O_{2}}=\left(\frac{4\sqrt{6}}{5}\right)^{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot3\cdot4=\frac{576}{25}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1987, задача 3, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1987, с. 216, задача 3, вариант 3