1744. Окружность проходит через вершину C
и середины D
и E
сторон BC
и AC
равностороннего треугольника ABC
. Докажите, что прямая, проходящая через середины сторон AB
и BC
, — касательная к окружности.
Указание. Радиус данной окружности, проведённый в точку D
, перпендикулярен данной прямой.
Решение. Пусть F
— середина AB
. В треугольнике BDF
стороны BF
и BD
равны как половины сторон равностороннего треугольника ABC
, а угол между ними равен 60^{\circ}
, значит, треугольник BDF
также равносторонний. Поэтому
\angle BDF=60^{\circ}=\angle ACB.
Следовательно, DF\parallel AC
.
Перпендикуляр DK
, опущенный из вершины D
равностороннего треугольника DCE
на хорду CE
окружности, проходящей через точки C
, D
и E
, делит эту хорду пополам. Поэтому прямая DK
проходит через центр окружности, а так как DF\parallel EC
, то DK\perp DF
. Значит, прямая DF
проходит через точку, лежащую на окружности, и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку. Следовательно, DF
— касательная к окружности.