17442. Один из углов треугольника равен 60^{\circ}
, радиус описанной около него окружности равен \frac{7}{\sqrt{3}}
, а радиус вписанной окружности равен \sqrt{3}
. Найдите площадь треугольника.
Ответ. 10\sqrt{3}
.
Решение. Пусть вписанная окружность с центром I
и радиусом r=\sqrt{3}
касается сторон AB
, BC
и CA
треугольника ABC
в точках K
, K
и M
соответственно, полупериметр треугольника равен p
, радиус описанной окружности равен R=\frac{7}{\sqrt{3}}
, а \angle BAC=60^{\circ}
. Из прямоугольного треугольника AKI
находим
AK=KI\ctg\angle IAK=r\ctg30^{\circ}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3.
Тогда AM=AK=3
.
По теореме синусов
BC=2R\sin\angle60^{\circ}=2\cdot\frac{7}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=7.
Тогда
BK+CM=BL+CL=BC=7~\Rightarrow~p=AK+BL+CM=3+BL+CL=3+7=10.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=pr=10\cdot\sqrt{3}=10\sqrt{3}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1989, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1989, с. 219, задача 3, вариант 1