17445. Один из углов треугольника равен
135^{\circ}
, радиус вписанной в него окружности равен
\sqrt{2}
, периметр треугольника равен
40
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.
Ответ.
9\sqrt{2}+1
.
Указание. Пусть
ABC
— данный треугольник, угол
A
равен
135^{\circ}
,
M
— точка касания вписанной окружности со стороной
AB
. Периметр треугольника равен
2(BC+AM)=2BC+2\sqrt{2}\ctg67{,}5^{\circ}=40.

Отсюда находим
BC=18+\sqrt{2}
. Радиус описанной окружности вычисляется по теореме синусов.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1989, задача 3, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1989, с. 220, задача 3, вариант 4