17446. Сторона правильного треугольника ABC
равна a
, AD
— его высота, опущенная из вершины A
. Найдите радиус окружности, которая касается стороны AC
, высоты AD
и описанной около треугольника ABC
окружности.
Ответ. \frac{2a(9-5\sqrt{3})}{3}
.
Решение. Пусть O
— центр описанной около треугольника ABC
окружности, O_{1}
— центр искомой окружности. Обозначим через x
искомый радиус. Угол A
в треугольнике AOO_{1}
равен 15^{\circ}
, и учитывая, что
AO=\frac{a}{\sqrt{3}},~AO_{1}=\frac{x}{\sin15^{\circ}},~OO_{1}=\frac{a}{\sqrt{3}}-x,
\sin^{2}15^{\circ}=\frac{1}{2}(1-\cos30^{\circ})=\frac{1}{4}(2-\sqrt{3}),~\ctg15^{\circ}=\frac{1+\cos30^{\circ}}{\sin30^{\circ}}=2-\sqrt{3},
по теореме косинусов получим уравнение
OO_{1}^{2}=AO_{1}^{2}+AO^{2}-2AO_{1}\cdot AO^{2}\cos15^{\circ},
или
\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{\sin^{2}15^{\circ}}+\frac{a^{2}}{3}-2\cdot\frac{x}{\sin15^{\circ}}\cdot\frac{a}{\sqrt{3}}\cdot\cos15^{\circ}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{a^{2}}{3}-\frac{2ax}{\sqrt{3}}+x^{2}=\frac{x^{2}}{\sin^{2}15^{\circ}}+\frac{a^{2}}{3}-\frac{2ax}{\sqrt{3}}\ctg15^{\circ}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~-\frac{2ax}{\sqrt{3}}+x^{2}=\frac{4x^{2}}{2-\sqrt{3}}-\frac{2ax(2+\sqrt{3})}{\sqrt{3}}.
После очевидных упрощений находим, что
x=\frac{2a(9-5\sqrt{3})}{3}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1990, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1990, с. 220, задача 3, вариант 2