17447. Сторона квадрата ABCD
равна a
. Найдите радиус окружности, которая касается стороны AB
, диагонали AC
и окружности, описанной около квадрата ABCD
.
Ответ. 2a(3-2\sqrt{2})
.
Указание. Пусть O
— точка пересечения диагоналей квадрата, O_{1}
— центр искомой окружности. Тогда AO_{1}
— биссектриса угла OAB
и, значит, \angle OAO_{1}=22{,}5^{\circ}
. Если x
— искомый радиус, то в треугольнике AOO_{1}
стороны
AO_{1}=\frac{x}{\sin22{,}5^{\circ}},~O_{1}O=a\sqrt{2}-x,~AO=a\sqrt{2}.
Применив теорему косинусов, получаем уравнение относительно x
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1990, задача 3, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1990, с. 220, задача 3, вариант 3