17448. В равнобедренной трапеции ABCD
стороны AB=BC=CD=a
, AD=2a
. Найдите радиус окружности, которая касается основания AD
, диагонали AC
и окружности, описанной около данной трапеции.
Ответ. 2a(3\sqrt{3}-5)
.
Указание. Пусть P
— середина основания AD
, O
— центр искомой окружности. Тогда AO
— биссектриса угла CAD
, \angle OAD=15^{\circ}
. Если x
— неизвестный радиус, то в треугольнике AOP
стороны
AO=\frac{x}{\sin15^{\circ}},~AP=a,~OP=a-x.
Применив теорему косинусов, получим уравнение относительно x
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1990, задача 3, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1990, с. 220, задача 3, вариант 4