17452. В остроугольном равнобедренном треугольнике ABC
с основанием AC
проведена высота AH
, продолжение которой пересекает описанную около треугольника окружность в точке D
. Найдите площадь треугольника ABC
, если AH=9
, AD=13
.
Ответ. \frac{135}{2}
.
Решение. Обозначим BH=x
, CH=y
. Тогда AB=BC=x+y
. По теореме о произведении пересекающихся хорд
AH\cdot DH=BH\cdot CH,~\mbox{или}~xy=36.
С другой стороны, по теореме Пифагора
BC^{2}+AB^{2}-AH^{2},~\mbox{или}~(x+y)^{2}=x^{2}+81.
Из системы
\syst{xy=36\\(x+y)^{2}=x^{2}+81\\y\gt0}
находим y=3
и x=12
. Тогда
BC=x+y=15,~S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AH\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot9\cdot15=\frac{135}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1992, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1992, с. 225, задача 3, вариант 1