17455. В равнобедренном треугольнике ABC
с основанием AC
проведён диаметр AD
описанной около него окружности, который пересекает сторону BC
в точке E
. Найдите боковую сторону треугольника ABC
, если AE=25
, ED=7
.
Ответ. \frac{80}{3}
.
Решение. Пусть BE=x
, CE=y
, а BH
— высота треугольника. По теореме о произведении пересекающихся хорд
BE\cdot CE=AE\cdot DE,~\mbox{или}~xy=7\cdot25.
Из подобия треугольников BDE
и ACE
(по двум углам) следует, что
\frac{BD}{AC}=\frac{BE}{AE}=\frac{x}{25}.
Треугольники ABD
и BCH
подобны, так как
\angle ABD=90^{\circ}=\angle BHC,~\angle ADB=\angle BCH.
Значит,
\frac{AD}{BC}=\frac{25+7}{x+y}=\frac{32}{x+y},
\frac{AD}{BC}=\frac{BD}{CH}=\frac{BD}{\frac{1}{2}AC}=2\cdot\frac{BD}{AC}=\frac{2x}{25},
поэтому \frac{x}{25}=\frac{16}{x+y}
.
Из системы
\syst{\frac{x}{25}=\frac{16}{x+y}\\xy=7\cdot25\\x\gt0}
находим x=15
и y=\frac{35}{3}
. Следовательно,
AB=BC=x+y=15+\frac{35}{3}=\frac{80}{3}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1992, задача 3, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1992, с. 227, задача 3, вариант 4