17457. Вне равностороннего треугольника ABC
со стороной a
выбрана точка M
, для которой отрезок AM
пересекает сторону BC
, а площади треугольников ABM
, ACM
и BCM
пропорциональны числам 4, 1 и 2 соответственно. Найдите AM
.
Ответ. \frac{a\sqrt{21}}{3}
.
Указание. Пусть N
— точка пересечения отрезка AM
со стороной BC
треугольника ABC
. Отношение площадей треугольников ABC
и BMC
равно 3:2
, отсюда AN:NM=3:2
, AM=\frac{5}{3}AN
. В то же время BN:NC=4:1
, т. е. NC=\frac{1}{5}BC=\frac{a}{5}
. AN
находим по теореме косинусов из треугольника ACN
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1993, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1993, с. 228, задача 3, вариант 2