17458. Вне ромба ABCD
со стороной a
и углом BAD
, равным 60^{\circ}
выбрана точка M
, для которой отрезки AM
и DM
пересекают сторону BC
, а площади треугольников ABM
, BCM
, CDM
и ADM
пропорциональны числам 1, 2, 3 и 6 соответственно. Найдите AM
.
Ответ. \frac{a\sqrt{43}}{4}
.
Указание. Пусть AKMN
— параллелограмм с диагональю AM
, вершины K
и N
которого лежат соответственно на лучах AB
и AD
. Тогда
AN=\frac{1}{4}AD=\frac{a}{4},~AK=\frac{3}{2}AB=\frac{3}{2}a.
Отрезок AM
находим по теореме косинусов из треугольника ANM
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1993, задача 3, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1993, с. 229, задача 3, вариант 3