17459. Внутри равностороннего треугольника ABC
со стороной a
выбрана точка M
, для которой площади треугольников ABM
, ACM
и BCM
пропорциональны числам 1, 2 и 3 соответственно. Найдите AM
.
Ответ. \frac{a\sqrt{43}}{4}
.
Указание. Пусть прямая, проведённая через точку M
параллельно BC
, пересекает стороны AB
и AC
треугольника ABC
в точках K
и N
соответственно. Тогда
AK=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2},~KM=\frac{1}{3}KN\frac{a}{6}.
Отрезок AM
находим по теореме косинусов.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1993, задача 3, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1993, с. 230, задача 3, вариант 4