17464. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность. Известно, что BD=7
, CD=8
, BC\lt4
, \angle BAD=120^{\circ}
. Найдите угол CAD
.
Ответ. \arccos\left(-\frac{1}{7}\right)=180^{\circ}-\arccos\frac{1}{7}
.
Решение. Обозначим \angle CAD=\alpha
, BC=x
. Поскольку четырёхугольник вписан в окружность,
\angle BCD=180^{\circ}-\angle BAD=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.
Вписанные углы CBD
и CAD
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle CBD=\angle CAD=\alpha.
По теореме синусов из треугольника BCD
получаем
\frac{DC}{\sin\alpha CBD}=\frac{BD}{\sin\angle60^{\circ}},~\mbox{или}~\frac{8}{\sin\alpha}=\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}~\Rightarrow~\sin\alpha=\frac{8\sqrt{3}}{14}=\frac{4\sqrt{3}}{7}.
Тогда
|\cos\alpha|=\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=\sqrt{1-\frac{48}{49}}=\frac{1}{7}.
Если \cos\alpha=\frac{1}{7}
, то по теореме косинусов
CD^{2}=BC^{2}+BD^{2}-2BC\cdot BD\cos\alpha,~\mbox{или}~64=x^{2}+49-2\cdot7x\cdot\frac{1}{7}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~x^{2}-2x-15=0~\Leftrightarrow~(x-5)(x+3)=0,
что противоречит условию 0\lt x\lt4
.
Если \cos\alpha=-\frac{1}{7}
, то аналогично получим, что
x^{2}+2x-15=0~\Leftrightarrow~(x+5)(x-3)=0.
значит, x=3\lt4
. Следовательно,
\cos\angle CAD=\arccos\left(-\frac{1}{7}\right)=180^{\circ}-\arccos\frac{1}{7}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1996, задача 2, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1996, с. 235, задача 2, вариант 2