17472. В треугольнике ABC
сторона AB
больше стороны BC
, AC=5\sqrt{3}
. На стороне AB
выбрана точка M
, для которой BM=BC
. Радиус окружности, описанной около треугольника AMC
, равен 2\sqrt{5}
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC
.
Ответ. 4\sqrt{5}
.
Решение. Обозначим \angle ABC=\alpha
, \angle AMC=\varphi
. Пусть r=2\sqrt{5}
и R
— радиусы описанных окружностей треугольников AMC
и ABC
соответственно.
Треугольник CBM
равнобедренный, поэтому углы при его основании CM
острые. Тогда \angle AMC
тупой. По теореме синусов
\sin\varphi=\sin\angle AMC=\frac{AC}{2r}=\frac{5\sqrt{3}}{4\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{4},
а так как угол AMC
тупой, то
\cos\varphi=-\sqrt{1-\sin^{2}\varphi}=-\sqrt{1-\frac{15}{16}}=-\frac{1}{4}.
Поскольку
\angle\alpha=180^{\circ}-2\angle BMC=180^{\circ}-2(180^{\circ}-\varphi)=2\varphi-180^{\circ},
то
R=\frac{AC}{2\sin\alpha}=\frac{AC}{2\sin(2\varphi-180^{\circ})}=-\frac{AC}{2\sin2\varphi}=-\frac{AC}{4\sin\varphi\cos\varphi}=-\frac{5\sqrt{3}}{4\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)}=4\sqrt{5}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1998, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1998, с. 240, задача 3, вариант 1